TT-VGT（Tetrahedron-Tetrahedron-Variable Geometry Truss）機(jī)器人是由多個(gè)四面體組成的變幾何桁架機(jī)器人,圖1所示為由N個(gè)四面體單元組成的冗余度TT-VGT機(jī)器人操作手,平面ABC為機(jī)器人的基礎(chǔ)平臺(tái),基本單元中各桿之間由較鉸連接,通過(guò)可伸縮構(gòu)件li(i=1,2,…,n)的長(zhǎng)度變化改變機(jī)構(gòu)的構(gòu)形。圖2所示為其中的兩個(gè)單元的TT-VGT機(jī)構(gòu),設(shè)平面ABC和平面BCD的夾角用中間變量qi(i=1,2,…,n)表示,qi與li(I=1,2,…,n)的關(guān)系如下：


式中,d表示TT-VGT中不可伸縮構(gòu)件的長(zhǎng)度,

li表示機(jī)器人可伸縮構(gòu)件的長(zhǎng)度。

TT-VGT機(jī)器人關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力F與力矩τ的關(guān)系為：

F=Bττ (2)

式中,Bτ為對(duì)角矩陣,對(duì)角元素Bτi為：





1 狀態(tài)模型

機(jī)器人的自適應(yīng)控制是與機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)密切相關(guān)的。機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程的一般形式可如下表示（不考慮外力的作用）：

τ=D（q）q+C(q,q)q+G(q)q (4)

式中,D（q）∈R n×n為廣義質(zhì)量矩陣（慣性矩陣）,

C（q,q）∈Rn×(n×n)為向心力及哥氏力作用的矩陣,

G（q）∈R n為重力矩陣,

τ∈R n表示機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)力矩。

對(duì)于TT-VGT機(jī)器人,用桿件變量li,ii,Li（i=1,2…,n）代替中間變量qi,qi,qi（i=1,2…,n）（見(jiàn)式（1））,則試（4）可表示為：

F=D（l）l+C（l,i）i+G(l)l (5)

式中,F∈Rn表示機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)力。





可把式（5）表示為下列狀態(tài)方程：

x=A(x,t)x+B(x,t)F （7）

式中,





上述機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型就是機(jī)器人自適應(yīng)控制器的調(diào)節(jié)對(duì)象。

考慮到傳動(dòng)裝置的動(dòng)力學(xué)控制系統(tǒng)模型如下式所示：





式中,u、l——傳動(dòng)裝置的輸入電壓和位移矢量,

Ma、Ja、Ba——傳動(dòng)裝置的驅(qū)動(dòng)力矩比例系數(shù)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)（對(duì)角矩陣）。

聯(lián)立求解式（5）和式（9）,并定義：





可求得機(jī)器人傳動(dòng)系統(tǒng)的時(shí)變非線性狀態(tài)模型如下：









2 Lyapunov模式參考自適應(yīng)控制器設(shè)計(jì)

定理 設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

e=Ae+Bφr （13）

φ=-RB T Per (14)

式中,e為n維向量,r為l維向量,A、B、φ分別為（n×n）、（n×m）、（m×l）維滿秩矩陣,R與P分別為（m×m）、（n×n）維正定對(duì)稱(chēng)矩陣。

假若矩陣P滿足Lyapunov方程：

PA+A TP=-Q （15）

式中,Q為（n×n）維正定對(duì)稱(chēng)矩陣。

同該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)e,φ是穩(wěn)定的。

如果向量r又是由l個(gè)或更多不同頻率的分量所組成,那么該平衡點(diǎn)還是漸近穩(wěn)定的。其證明可參看文獻(xiàn)。選擇如下的穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)為參考模型：

y=Amx+Bmr （16）

式中,y——參考模型狀態(tài)矢量：





式中,∧1——含有ωi項(xiàng)的（n×n）對(duì)角矩陣,

∧2——含有2ξωi項(xiàng)的n×n對(duì)角矩陣。




式（18）表示n個(gè)含有指定參數(shù)ξ和ωi的去耦二除微分方程式：

yi+2ξiωiyi+ωi2yi=ωi2r （19）

令控制器輸入為：u=Kxx+Kur （20）

式中,Kx、Ku——可調(diào)反饋矩陣和前饋矩陣。

根據(jù)式（20）可得式（11）的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)模型為：

x=As(x,t)x+Bs(x,t)u （21）

式中,As(x,t)=Ap(x,t)+Bp(x,t)Kx,Bs(x,t)=Bp(x,t)Ku (22)

將式（12）代入式（22）,可得：





適當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)Kxi、Ku,能夠使式（11）所示系統(tǒng)與式（16）所代表的參考模型完全匹配。

定義狀態(tài)誤差矢量為：

e=y-x （24）

則e=Ame+（Am-As）x+(Bm-Bs)r （25）
控制目標(biāo)是為Kx和Ku找出一種調(diào)整算法,使得狀態(tài)誤差趨近于零,即：





對(duì)腳式（13）與式（14）,選取正定Lyapunov函數(shù)V為：





式中,P——正定矩陣,

FA和FB——正定自適應(yīng)增益矩陣。

對(duì)上式微分,得





根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論,保證滿足式（24）為穩(wěn)定的充要條件是V為負(fù)定,由此可求得：





將式（22）求導(dǎo)并與式（30）聯(lián)立求解,同時(shí)考慮到控制器穩(wěn)定時(shí)式（11）所示系統(tǒng)與式（16）所代表的參考模型完全匹配,可得





由此已得到控制器的自適應(yīng)控制律。

3 TT-VGT機(jī)器人的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制

本文采用直接MRAC（模型參考自適應(yīng)控制）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器對(duì)TT-VGT機(jī)器人進(jìn)行控制。在圖3中,NNC（神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器）力圖維持機(jī)器人輸出與參考模型輸出之差e（t）=l(t)-lm(t) →。即通過(guò)誤差反傳,并采用上節(jié)的自適應(yīng)算法,調(diào)節(jié)NNC,使得其輸出控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)到誤差e(t)為0。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如圖4所示。

4 實(shí)例分析

以四得四面體為例,如圖5所示建立基礎(chǔ)坐標(biāo)系,末端參考點(diǎn)H位于末端平臺(tái)EFG的中點(diǎn)。設(shè)參考點(diǎn)H在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中,從點(diǎn)（0.8640,-0.6265,0.5005）直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（1.8725,0.5078,0.7981）,只實(shí)現(xiàn)空間的位置,不實(shí)現(xiàn)姿態(tài)。運(yùn)動(dòng)的整個(gè)時(shí)間T設(shè)定5秒,運(yùn)動(dòng)軌跡分為等時(shí)間間隔的100個(gè)區(qū)間。不失一般性要求,末端在軌跡的前40個(gè)區(qū)間勻加速度運(yùn)動(dòng)（a=0.2578）,中間20個(gè)工間勻速度運(yùn)動(dòng),最后40個(gè)區(qū)間勻減速度運(yùn)動(dòng)（a=-0.2578）,開(kāi)始和結(jié)束時(shí)的末端速度為。設(shè)各定長(zhǎng)構(gòu)件長(zhǎng)度為1m,機(jī)構(gòu)中各桿質(zhì)量為1kg,并將質(zhì)量向四面體各頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)簡(jiǎn)化。




傳動(dòng)裝置的參數(shù)如下：

Ma=4.0×10e -3kg·m/V;Ba=0.01N·m/(rad·s -1);

近似認(rèn)為各關(guān)節(jié)電動(dòng)機(jī)軸上的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持不變,其值分別為：

J1=0.734kg·m2;J2=0.715kg·m2;

J3=0.537kg·m2;J4=0.338kg·m2

末端位置誤差曲線如圖6所示。從誤差曲線可看出,用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)控制的機(jī)器人位置控制精度較高,穩(wěn)定性較好。

本文提出采用直接MRAC神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)器對(duì)機(jī)器人進(jìn)行軌跡控制的方案;建立機(jī)器人狀態(tài)模型,推導(dǎo)出自適應(yīng)控制算法,并對(duì)冗余度TT-VGT機(jī)器人軌跡控制進(jìn)行了仿真。結(jié)果表明,該方案控制誤差較小,穩(wěn)定性較好。